像这种情况公司是可以和劳动者终止的，不过根据《法实施条例》的相关规定，在终止劳动关系时也应当书面通知劳动者，因员工不签劳动合同造成劳动关系终止的，公司不支付补偿金，只需要据实支付工资。
一、公司员工不签劳动合同怎么办?
公司员工不签劳动合同的，公司可以当书面通知劳动者终止劳动关系，无需向劳动者支付经济补偿。
《实施条例》
第五条
自用工之日起一个月内，经用人单位书面通知后，劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，无需向劳动者支付经济补偿，但是应当依法向劳动者支付其实际工作时间的劳动报酬。
二、不签劳动合同公司要承担哪些风险?
1、未签订书面劳动合同需赔双倍工资。
用工单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍的工资。
2、认定无固定期限合同关系成立。
用人单位自用工之日起满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当支付劳动者11个月双倍工资，并视为自用工之日起满1年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同。
3、用人单位仍有缴纳的义务。
用人单位只要发生了用工行为，与劳动者形成事实劳动关系。即便是没有签订书面劳动合同，也享有《劳动法》上规定的各项权利。如单位拒绝为劳动者缴纳社会费用，员工可以向劳动监察部门投诉，劳动监察部门可以责令单位缴纳。甚至申请法院强制执行。
4、不利于用人单位保护商业秘密。
商业秘密的构成要件之一是用人单位必须对所谓商业秘密采取一定的保密措施。在劳动合同中的保密条款便是用人单位对商业秘密采取保密措施的表现形式之一。如果没有签订保密条款或者保密协议，明确保密的范围、时间以及法律责任。劳动者发生泄密事件时，单位需要证明哪些属于属于商业秘密，是否对其主张的商业秘密采取了保密措施。不仅增加了举证的难度，还需要承担举证不能的责任，即主张的企业信息不被认定为商业秘密。所以，不签订书面劳动合同，是不利于用人单位保护商业秘密，不利于用人单位的发展。
建立劳动关系后不愿意跟公司签劳动合同是不合理的，在没有书面劳动合同的情况下用人单位也要承担诸多的法律风险，比如向员工支付双倍工资或者被迫订立无固定期限劳动合同等。而在司法实践中，员工不愿意签劳动合同的情况也很少见。
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